Привет!
Вообще говоря, правильнее привязывать врачей к больницам - тогда не нужен будет поиск, будет быстрее.
Но если есть то что есть - то в целом подход верный. Но есть нюансы =)
Во первых, надеюсь не забыли arrFilter в параметрах компонента catalog.section указать:
"FILTER_NAME" => "arrFilter",
"CACHE_FILTER" => "Y",
Во вторых, если свойство "Привязка к элементам", то оно работает не с названиями, а с ID элементов.
В третьих, так как свойство не имеет тип "Список", то фильтр будет без _VALUE: